Langsung ke konten utama

Definisi dan Teorema Limit

Andaikan $f, g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $c, \delta, \epsilon \in \mathbb{R}$.  Definisi limit adalah
\[ \lim_{x\to c}f(x) = L \]
sedemikian rupa sehingga untuk setiap $\epsilon >0$, terdapat $\delta > 0$, sedemikian berlaku jika
\[ 0 < |x - c| < \delta \]
mengakibatkan
\[ |f(x) - L| < \epsilon. \]

Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari nilai $L$.

Kita dapat menuliskan
\[ |x - c| = |r| \]
di mana $0 < |r| < \delta$ alias $r \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, sehingga
\[ x = c + r. \]
Kita dapat menuliskan pula
\[ |f(x) - L| = |R| \]
di mana $0 \leq |R| < \epsilon$ alias $R \in (-\epsilon, \epsilon)$, sehingga
\[ L = f(x) + R = f(c + r) + R. \]

Contoh kongkretnya adalah
\[ \lim_{x\to 0}x = (0 + r) + R. \]
Kita ambil $R = -r$, sehingga
\[ \lim_{x\to 0}x = r + (-r) = 0. \]
Selain itu,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{0 + r}{0 + r} + R. \]
Kita ambil $R = 0$, sehingga
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{r}{r} = 1. \]

Selanjutnya kita hendak menurunkan beberapa teorema limit.

\[ \lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R. \]
Apabila kita ambil $R = R_1 + R_2$, di mana $R_1, R_2 \in (-\epsilon, \epsilon)$, maka
\[ \lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R = (f(c + r) + R_1) + (g(c + r) + R_2) = \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x). \]

\[ \lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = f(c + r)g(c + r) + R. \]
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
\[ \lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = (f(c + r) + R)(g(c + r) + R) = \left(\lim_{x\to c}f(x)\right)\left(\lim_{x\to c}g(x)\right). \]

\[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r)}{g(c + r)} + R. \]
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
\[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r) + R}{g(c + r) + R} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)} \]
di mana $\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$.

Sekarang, andaikan kita hendak menghitung nilai
\[ L := \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y}. \]
Dari definisi limit tersebut, kita peroleh
\[ L = \frac{r}{s} + R + S \]
di mana $r, s \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$ dan $R, S \in (-\epsilon, \epsilon)$.

Apabila kita ambil $r = \alpha s$, di mana $\alpha \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, maka kita peroleh
\[ L = \alpha + R + S. \]
Apabila kita ambil $R = 0$ dan $S = -\alpha$, maka kita peroleh $L = 0$.  Jadi,
\[ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y} = 0. \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Proyeksi Stereografis Permukaan Bola ke Bidang Datar

Andaikan ada sebuah permukaan bola \[ S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\} \] dan ada sebuah bidang datar \[ P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\} \] di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$. Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah \[ L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}. \] Oleh karena itu, \[ \vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0) \] di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga \[ (X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\th...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Jarak Euclidean Titik, Garis, dan Bidang

Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan titik $(b_x,b_y,b_z)$ adalah \[ d_{00}=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2+(a_z-b_z)^2}. \] Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ adalah \[ d_{01}=\sqrt{\frac{[(a_y-y_0)v_z-(a_z-z_0)v_y]^2+[(a_z-z_0)v_x-(a_x-x_0)v_z]^2+[(a_x-x_0)v_y-(a_y-y_0)v_x]^2}{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}}. \] Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ adalah \[ d_{02}=\frac{|a_xN_x+a_yN_y+a_zN_z+C|}{\sqrt{{N_x}^2+{N_y}^2+{N_z}^2}}. \] Jarak antara garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_1}{w_x}=\frac{y-y_1}{w_y}=\frac{z-z_1}{w_z}$ adalah \[ d_{11}=\frac{|(x_0-x_1)(v_yw_z-v_zw_y)+(y_0-y_1)(v_zw_x-v_xw_z)+(z_0-z_1)(v_xw_y-v_yw_x)|}{\sqrt{(v_yw_z-v_zw_y)^2+(v_zw_x-v_xw_z)^2+(v_xw_y-v_yw_x)^2}} \] apabila $v_yw_z\neq{v_zw_y}$ atau $v_zw_x\neq{v_xw_z}$ atau $v_xw_y\neq{v_yw_x}$. Apabila $v_yw_z=v_zw_y$ dan $v_...
Posting Komentar
Baca selengkapnya