Langsung ke konten utama

Definisi dan Teorema Limit

Andaikan $f, g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $c, \delta, \epsilon \in \mathbb{R}$.  Definisi limit adalah
\[ \lim_{x\to c}f(x) = L \]
sedemikian rupa sehingga untuk setiap $\epsilon >0$, terdapat $\delta > 0$, sedemikian berlaku jika
\[ 0 < |x - c| < \delta \]
mengakibatkan
\[ |f(x) - L| < \epsilon. \]

Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari nilai $L$.

Kita dapat menuliskan
\[ |x - c| = |r| \]
di mana $0 < |r| < \delta$ alias $r \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, sehingga
\[ x = c + r. \]
Kita dapat menuliskan pula
\[ |f(x) - L| = |R| \]
di mana $0 \leq |R| < \epsilon$ alias $R \in (-\epsilon, \epsilon)$, sehingga
\[ L = f(x) + R = f(c + r) + R. \]

Contoh kongkretnya adalah
\[ \lim_{x\to 0}x = (0 + r) + R. \]
Kita ambil $R = -r$, sehingga
\[ \lim_{x\to 0}x = r + (-r) = 0. \]
Selain itu,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{0 + r}{0 + r} + R. \]
Kita ambil $R = 0$, sehingga
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{r}{r} = 1. \]

Selanjutnya kita hendak menurunkan beberapa teorema limit.

\[ \lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R. \]
Apabila kita ambil $R = R_1 + R_2$, di mana $R_1, R_2 \in (-\epsilon, \epsilon)$, maka
\[ \lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R = (f(c + r) + R_1) + (g(c + r) + R_2) = \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x). \]

\[ \lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = f(c + r)g(c + r) + R. \]
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
\[ \lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = (f(c + r) + R)(g(c + r) + R) = \left(\lim_{x\to c}f(x)\right)\left(\lim_{x\to c}g(x)\right). \]

\[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r)}{g(c + r)} + R. \]
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
\[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r) + R}{g(c + r) + R} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)} \]
di mana $\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$.

Sekarang, andaikan kita hendak menghitung nilai
\[ L := \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y}. \]
Dari definisi limit tersebut, kita peroleh
\[ L = \frac{r}{s} + R + S \]
di mana $r, s \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$ dan $R, S \in (-\epsilon, \epsilon)$.

Apabila kita ambil $r = \alpha s$, di mana $\alpha \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, maka kita peroleh
\[ L = \alpha + R + S. \]
Apabila kita ambil $R = 0$ dan $S = -\alpha$, maka kita peroleh $L = 0$.  Jadi,
\[ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y} = 0. \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Persamaan Hamilton

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai \[ p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}. \] Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$. Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}, \] maka \[ \dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}. \] Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$. Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$. Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka \[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Karena
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}
Posting Komentar
Baca selengkapnya