Definisi dan Teorema Limit

Andaikan $f, g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $c, \delta, \epsilon \in \mathbb{R}$.  Definisi limit adalah
$$\lim_{x\to c}f(x) = L$$
sedemikian rupa sehingga untuk setiap $\epsilon >0$, terdapat $\delta > 0$, sedemikian berlaku jika
$$0 < |x - c| < \delta$$
mengakibatkan
$$|f(x) - L| < \epsilon.$$

Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari nilai $L$.

Kita dapat menuliskan
$$|x - c| = |r|$$
di mana $0 < |r| < \delta$ alias $r \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, sehingga
$$x = c + r.$$
Kita dapat menuliskan pula
$$|f(x) - L| = |R|$$
di mana $0 \leq |R| < \epsilon$ alias $R \in (-\epsilon, \epsilon)$, sehingga
$$L = f(x) + R = f(c + r) + R.$$

Contoh kongkretnya adalah
$$\lim_{x\to 0}x = (0 + r) + R.$$
Kita ambil $R = -r$, sehingga
$$\lim_{x\to 0}x = r + (-r) = 0.$$
Selain itu,
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{0 + r}{0 + r} + R.$$
Kita ambil $R = 0$, sehingga
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{r}{r} = 1.$$

Selanjutnya kita hendak menurunkan beberapa teorema limit.

$$\lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R.$$
Apabila kita ambil $R = R_1 + R_2$, di mana $R_1, R_2 \in (-\epsilon, \epsilon)$, maka
$$\lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R = (f(c + r) + R_1) + (g(c + r) + R_2) = \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x).$$

$$\lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = f(c + r)g(c + r) + R.$$
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
$$\lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = (f(c + r) + R)(g(c + r) + R) = \left(\lim_{x\to c}f(x)\right)\left(\lim_{x\to c}g(x)\right).$$

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r)}{g(c + r)} + R.$$
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r) + R}{g(c + r) + R} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$$
di mana $\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$.

Sekarang, andaikan kita hendak menghitung nilai
$$L := \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y}.$$
Dari definisi limit tersebut, kita peroleh
$$L = \frac{r}{s} + R + S$$
di mana $r, s \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$ dan $R, S \in (-\epsilon, \epsilon)$.

Apabila kita ambil $r = \alpha s$, di mana $\alpha \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, maka kita peroleh
$$L = \alpha + R + S.$$
Apabila kita ambil $R = 0$ dan $S = -\alpha$, maka kita peroleh $L = 0$.  Jadi,
$$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y} = 0.$$