Langsung ke konten utama

Definisi dan Teorema Limit

Andaikan $f, g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $c, \delta, \epsilon \in \mathbb{R}$.  Definisi limit adalah
\[ \lim_{x\to c}f(x) = L \]
sedemikian rupa sehingga untuk setiap $\epsilon >0$, terdapat $\delta > 0$, sedemikian berlaku jika
\[ 0 < |x - c| < \delta \]
mengakibatkan
\[ |f(x) - L| < \epsilon. \]

Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari nilai $L$.

Kita dapat menuliskan
\[ |x - c| = |r| \]
di mana $0 < |r| < \delta$ alias $r \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, sehingga
\[ x = c + r. \]
Kita dapat menuliskan pula
\[ |f(x) - L| = |R| \]
di mana $0 \leq |R| < \epsilon$ alias $R \in (-\epsilon, \epsilon)$, sehingga
\[ L = f(x) + R = f(c + r) + R. \]

Contoh kongkretnya adalah
\[ \lim_{x\to 0}x = (0 + r) + R. \]
Kita ambil $R = -r$, sehingga
\[ \lim_{x\to 0}x = r + (-r) = 0. \]
Selain itu,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{0 + r}{0 + r} + R. \]
Kita ambil $R = 0$, sehingga
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{r}{r} = 1. \]

Selanjutnya kita hendak menurunkan beberapa teorema limit.

\[ \lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R. \]
Apabila kita ambil $R = R_1 + R_2$, di mana $R_1, R_2 \in (-\epsilon, \epsilon)$, maka
\[ \lim_{x\to c}(f(x) + g(x)) = (f(c + r) + g(c + r)) + R = (f(c + r) + R_1) + (g(c + r) + R_2) = \lim_{x\to c}f(x) + \lim_{x\to c}g(x). \]

\[ \lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = f(c + r)g(c + r) + R. \]
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
\[ \lim_{x\to c}(f(x)g(x)) = (f(c + r) + R)(g(c + r) + R) = \left(\lim_{x\to c}f(x)\right)\left(\lim_{x\to c}g(x)\right). \]

\[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r)}{g(c + r)} + R. \]
Apabila kita ambil $R = 0$, maka
\[ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(c + r) + R}{g(c + r) + R} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)} \]
di mana $\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$.

Sekarang, andaikan kita hendak menghitung nilai
\[ L := \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y}. \]
Dari definisi limit tersebut, kita peroleh
\[ L = \frac{r}{s} + R + S \]
di mana $r, s \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$ dan $R, S \in (-\epsilon, \epsilon)$.

Apabila kita ambil $r = \alpha s$, di mana $\alpha \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, maka kita peroleh
\[ L = \alpha + R + S. \]
Apabila kita ambil $R = 0$ dan $S = -\alpha$, maka kita peroleh $L = 0$.  Jadi,
\[ \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}\frac{x}{y} = 0. \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Ka...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Menurunkan Hukum Arus Kirchhoff dari Hukum Ampere

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah \[ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t. \] Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan \[ 0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t, \] di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan \[ 0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt}, \] di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi \[ \vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta. \] Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah \[ \vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta, \] sehingga \[ \vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta), \] di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$. Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan...
Posting Komentar
Baca selengkapnya