Langsung ke konten utama

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi
\[ \vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta. \]
Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah
\[ \vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta, \]
sehingga
\[ \vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta), \]
di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$.

Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan $\vec{\omega}\times\hat{n} = \vec{0}$, maka
\[ \vec{v} = \vec{\omega}\times((\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta), \]
sehingga
\[ \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}. \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Proyeksi Stereografis Permukaan Bola ke Bidang Datar

Andaikan ada sebuah permukaan bola \[ S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\} \] dan ada sebuah bidang datar \[ P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\} \] di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$. Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah \[ L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}. \] Oleh karena itu, \[ \vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0) \] di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga \[ (X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\th...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Medan Listrik akibat Distribusi Muatan Berbentuk Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan berdistribusi sebuah lingkaran dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu \[ S^1(R) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)\} \] di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lingkaran tersebut. Posisi titik pada $S^1(R)$ tentu saja adalah \[ \vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi' \] di mana $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$. Posisi sebarang titik di ruang $\mathbb{R}^3$ tentu saja adalah \[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \] di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$. Tentu saja, \[ \vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z \] sehingga \[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2. \] Medan listrik di titik $\vec{r}$ ten...
Posting Komentar
Baca selengkapnya