Jarak Euclidean Titik, Garis, dan Bidang

Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan titik $(b_x,b_y,b_z)$ adalah
$$d_{00}=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2+(a_z-b_z)^2}.$$
Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ adalah
$$d_{01}=\sqrt{\frac{[(a_y-y_0)v_z-(a_z-z_0)v_y]^2+[(a_z-z_0)v_x-(a_x-x_0)v_z]^2+[(a_x-x_0)v_y-(a_y-y_0)v_x]^2}{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}}.$$
Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ adalah
$$d_{02}=\frac{|a_xN_x+a_yN_y+a_zN_z+C|}{\sqrt{{N_x}^2+{N_y}^2+{N_z}^2}}.$$
Jarak antara garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_1}{w_x}=\frac{y-y_1}{w_y}=\frac{z-z_1}{w_z}$ adalah
$$d_{11}=\frac{|(x_0-x_1)(v_yw_z-v_zw_y)+(y_0-y_1)(v_zw_x-v_xw_z)+(z_0-z_1)(v_xw_y-v_yw_x)|}{\sqrt{(v_yw_z-v_zw_y)^2+(v_zw_x-v_xw_z)^2+(v_xw_y-v_yw_x)^2}}$$
apabila $v_yw_z\neq{v_zw_y}$ atau $v_zw_x\neq{v_xw_z}$ atau $v_xw_y\neq{v_yw_x}$.

Apabila $v_yw_z=v_zw_y$ dan $v_zw_x=v_xw_z$ dan $v_xw_y=v_yw_x$, maka
$$d_{11}=\sqrt{\frac{[(y_0-y_1)v_z-(z_0-z_1)v_y]^2+[(z_0-z_1)v_x-(x_0-x_1)v_z]^2+[(x_0-x_1)v_y-(y_0-y_1)v_x]^2}{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}}.$$
Jarak antara garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ dan bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ adalah
$$d_{12}=\frac{|x_0N_x+y_0N_y+z_0N_z+C|}{\sqrt{{N_x}^2+{N_y}^2+{N_z}^2}}$$
apabila $N_xv_x+N_yv_y+N_zv_z=0$.

Apabila $N_xv_x+N_yv_y+N_zv_z \neq 0$, maka $d_{12}=0$.

Jarak antara bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ dan bidang $kN_xx+kN_yy+kN_zz+C^\prime=0$ adalah
$$d_{22}=\frac{|C-(C^\prime/k)|}{\sqrt{{N_x}^2+{N_y}^2+{N_z}^2}}.$$

Jarak antara bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ dan bidang $M_xx+M_yy+M_zz+C^\prime=0$ adalah $d_{22}=0$ apabila $N_yM_z\neq{N_zM_y}$ atau $N_zM_x\neq{N_xM_z}$ atau $N_xM_y\neq{N_yM_x}$.