Langsung ke konten utama

Turunan Vektor Basis Satuan Azimutal terhadap Koordinat Azimutal

\[ \partial\hat{\phi}/\partial\phi = (\partial/\partial\phi)(\vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi|). \]
\[ \vec{e}_\phi = \partial\vec{r}/\partial\phi. \]
\[ \vec{r} = \hat{x}r\sin\theta\cos\phi + \hat{y}r\sin\theta\sin\phi + \hat{z}r\cos\theta. \]
\[ \vec{e}_\phi = -\hat{x}r\sin\theta\sin\phi + \hat{y}r\sin\theta\cos\phi. \]
\[ |\vec{e}_\phi| = r\sin\theta. \]
\[ \hat{\phi} = \vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi| = -\hat{x}\sin\phi + \hat{y}\cos\phi. \]
\[ \partial\hat{\phi}/\partial\phi = -(\hat{x}\cos\phi + \hat{y}\sin\phi). \]
\[ \hat{r} = \hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta. \]
\[ \hat{\theta} =  \vec{e}_\theta/|\vec{e}_\theta|. \]
\[ \vec{e}_\theta = \partial\vec{r}/\partial\theta = \hat{x}r\cos\theta\cos\phi + \hat{y}r\cos\theta\sin\phi - \hat{z}r\sin\theta. \]
\[ |\vec{e}_\theta| = r. \]
\[ \hat{\theta} = \hat{x}\cos\theta\cos\phi + \hat{y}\cos\theta\sin\phi - \hat{z}\sin\theta. \]
\[ \begin{pmatrix}\hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z}\end{pmatrix}. \]
\[ \Delta = \begin{vmatrix}\sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\end{vmatrix} = 1. \]
\[ \hat{x} = \frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}\hat{r} & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\ \hat{\theta} & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ \hat{\phi} & \cos\phi & 0\end{vmatrix} = \hat{r}\sin\theta\cos\phi + \hat{\theta}\cos\theta\cos\phi - \hat{\phi}\sin\phi. \]
\[ \hat{y} = \frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}\sin\theta\cos\phi & \hat{r} & \cos\theta \\ \cos\theta\cos\phi & \hat{\theta} & -\sin\theta \\ -\sin\phi & \hat{\phi} & 0\end{vmatrix} = \hat{r}\sin\theta\sin\phi + \hat{\theta}\cos\theta\sin\phi + \hat{\phi}\cos\phi. \]
\[ \partial\hat{\phi}/\partial\phi = -((\hat{r}\sin\theta\cos\phi + \hat{\theta}\cos\theta\cos\phi - \hat{\phi}\sin\phi)\cos\phi + (\hat{r}\sin\theta\sin\phi + \hat{\theta}\cos\theta\sin\phi + \hat{\phi}\cos\phi)\sin\phi). \]
\[ \partial\hat{\phi}/\partial\phi = -(\hat{r}\sin\theta + \hat{\theta}\cos\theta). \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Proyeksi Stereografis Permukaan Bola ke Bidang Datar

Andaikan ada sebuah permukaan bola \[ S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\} \] dan ada sebuah bidang datar \[ P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\} \] di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$. Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah \[ L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}. \] Oleh karena itu, \[ \vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0) \] di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga \[ (X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\th...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Menurunkan Hukum Arus Kirchhoff dari Hukum Ampere

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah \[ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t. \] Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan \[ 0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t, \] di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan \[ 0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt}, \] di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...
Posting Komentar
Baca selengkapnya