Langsung ke konten utama

Medan Listrik akibat Distribusi Muatan Berbentuk Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan berdistribusi sebuah lingkaran dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ S^1(R) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)\} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lingkaran tersebut.

Posisi titik pada $S^1(R)$ tentu saja adalah
\[ \vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi' \]
di mana $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.

Posisi sebarang titik di ruang $\mathbb{R}^3$ tentu saja adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$.

Tentu saja,
\[ \vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z \]
sehingga
\[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2. \]
Medan listrik di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi' \]
alias
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z}{[l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2]^{3/2}}d\phi'. \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.

Untuk mempermudah analisa, kita ambil kasus khusus, yaitu $l = 0$, sehingga
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{-\hat{x}R\cos\phi' - \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}d\phi' = \hat{x}E_x + \hat{y}E_y + \hat{z}E_z. \]
\[ E_x = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi} \cos\phi'\,d\phi' = 0 = E_y. \]
\[ E_z = \frac{\lambda Rz}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi}{(R^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\lambda Rz}{2\epsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Apabila $z = 0$, maka $E_z = 0$, sesuai yang diharapkan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Persamaan Hamilton

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai \[ p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}. \] Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$. Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}, \] maka \[ \dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}. \] Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$. Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$. Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka \[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi \[ \vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta. \] Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah \[ \vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta, \] sehingga \[ \vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta), \] di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$. Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan $\v
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Karena
Posting Komentar
Baca selengkapnya