Langsung ke konten utama

Medan Listrik akibat Distribusi Muatan Berbentuk Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan berdistribusi sebuah lingkaran dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ S^1(R) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)\} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lingkaran tersebut.

Posisi titik pada $S^1(R)$ tentu saja adalah
\[ \vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi' \]
di mana $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.

Posisi sebarang titik di ruang $\mathbb{R}^3$ tentu saja adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$.

Tentu saja,
\[ \vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z \]
sehingga
\[ |\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2. \]
Medan listrik di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi' \]
alias
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z}{[l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2]^{3/2}}d\phi'. \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.

Untuk mempermudah analisa, kita ambil kasus khusus, yaitu $l = 0$, sehingga
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{-\hat{x}R\cos\phi' - \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}d\phi' = \hat{x}E_x + \hat{y}E_y + \hat{z}E_z. \]
\[ E_x = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi} \cos\phi'\,d\phi' = 0 = E_y. \]
\[ E_z = \frac{\lambda Rz}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi}{(R^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\lambda Rz}{2\epsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}. \]
Apabila $z = 0$, maka $E_z = 0$, sesuai yang diharapkan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Proyeksi Stereografis Permukaan Bola ke Bidang Datar

Andaikan ada sebuah permukaan bola \[ S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\} \] dan ada sebuah bidang datar \[ P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\} \] di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$. Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah \[ L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}. \] Oleh karena itu, \[ \vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0) \] di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga \[ (X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\th...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Jarak Euclidean Titik, Garis, dan Bidang

Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan titik $(b_x,b_y,b_z)$ adalah \[ d_{00}=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2+(a_z-b_z)^2}. \] Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ adalah \[ d_{01}=\sqrt{\frac{[(a_y-y_0)v_z-(a_z-z_0)v_y]^2+[(a_z-z_0)v_x-(a_x-x_0)v_z]^2+[(a_x-x_0)v_y-(a_y-y_0)v_x]^2}{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}}. \] Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ adalah \[ d_{02}=\frac{|a_xN_x+a_yN_y+a_zN_z+C|}{\sqrt{{N_x}^2+{N_y}^2+{N_z}^2}}. \] Jarak antara garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_1}{w_x}=\frac{y-y_1}{w_y}=\frac{z-z_1}{w_z}$ adalah \[ d_{11}=\frac{|(x_0-x_1)(v_yw_z-v_zw_y)+(y_0-y_1)(v_zw_x-v_xw_z)+(z_0-z_1)(v_xw_y-v_yw_x)|}{\sqrt{(v_yw_z-v_zw_y)^2+(v_zw_x-v_xw_z)^2+(v_xw_y-v_yw_x)^2}} \] apabila $v_yw_z\neq{v_zw_y}$ atau $v_zw_x\neq{v_xw_z}$ atau $v_xw_y\neq{v_yw_x}$. Apabila $v_yw_z=v_zw_y$ dan $v_...
Posting Komentar
Baca selengkapnya