Medan Listrik akibat Distribusi Muatan Berbentuk Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan berdistribusi sebuah lingkaran dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu
$$S^1(R) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)\}$$
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lingkaran tersebut.

Posisi titik pada $S^1(R)$ tentu saja adalah
$$\vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi'$$
di mana $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.

Posisi sebarang titik di ruang $\mathbb{R}^3$ tentu saja adalah
$$\vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z$$
di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$.

Tentu saja,
$$\vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z$$
sehingga
$$|\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2.$$
Medan listrik di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah
$$\vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi'$$
alias
$$\vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{\hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z}{[l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2]^{3/2}}d\phi'.$$
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.

Untuk mempermudah analisa, kita ambil kasus khusus, yaitu $l = 0$, sehingga
$$\vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi} \frac{-\hat{x}R\cos\phi' - \hat{y}R\sin\phi' + \hat{z}z}{(R^2 + z^2)^{3/2}}d\phi' = \hat{x}E_x + \hat{y}E_y + \hat{z}E_z.$$
$$E_x = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi} \cos\phi'\,d\phi' = 0 = E_y.$$
$$E_z = \frac{\lambda Rz}{4\pi\epsilon_0}\frac{2\pi}{(R^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{\lambda Rz}{2\epsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}.$$
Apabila $z = 0$, maka $E_z = 0$, sesuai yang diharapkan.