Langsung ke konten utama

Medan Listrik akibat Muatan Berbentuk Sebagian Busur Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan yang terdistribusi homogen dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$ berbentuk sebagian busur lingkaran, yaitu
\[ C(R, \phi) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in (0, \phi)\} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$.

Posisi titik pada $C(R, \phi)$ adalah
\[ \vec{r}' := R(\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi') \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.

Kita akan mencari medan listrik $\vec{E}$ di titik $\vec{r} := (0, 0, 0)$, yaitu
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi' \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.

Selanjutnya,
\[ \vec{E} = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi'}{R^3}d\phi'. \]
\[ \vec{E} = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\int_0^\phi (\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi')d\phi' = \hat{x}E_x + \hat{y}E_y + \hat{z}E_z. \]
Tentu saja, $E_z = 0$, sedangkan komponen yang lain adalah
\[ E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\sin\phi \]
dan
\[ E_y = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}(\cos\phi - 1). \]
Apabila $\phi = 0$ atau $\phi = 2\pi$, maka $E_x = E_y = 0$ sesuai dengan yang diharapkan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Proyeksi Stereografis Permukaan Bola ke Bidang Datar

Andaikan ada sebuah permukaan bola \[ S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\} \] dan ada sebuah bidang datar \[ P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\} \] di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$. Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah \[ L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}. \] Oleh karena itu, \[ \vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0) \] di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga \[ (X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\th...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Menurunkan Hukum Arus Kirchhoff dari Hukum Ampere

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah \[ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t. \] Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan \[ 0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t, \] di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan \[ 0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt}, \] di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...
Posting Komentar
Baca selengkapnya