Langsung ke konten utama

Medan Listrik akibat Muatan Berbentuk Sebagian Busur Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan yang terdistribusi homogen dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$ berbentuk sebagian busur lingkaran, yaitu
\[ C(R, \phi) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in (0, \phi)\} \]
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$.

Posisi titik pada $C(R, \phi)$ adalah
\[ \vec{r}' := R(\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi') \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.

Kita akan mencari medan listrik $\vec{E}$ di titik $\vec{r} := (0, 0, 0)$, yaitu
\[ \vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi' \]
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.

Selanjutnya,
\[ \vec{E} = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi'}{R^3}d\phi'. \]
\[ \vec{E} = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\int_0^\phi (\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi')d\phi' = \hat{x}E_x + \hat{y}E_y + \hat{z}E_z. \]
Tentu saja, $E_z = 0$, sedangkan komponen yang lain adalah
\[ E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\sin\phi \]
dan
\[ E_y = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}(\cos\phi - 1). \]
Apabila $\phi = 0$ atau $\phi = 2\pi$, maka $E_x = E_y = 0$ sesuai dengan yang diharapkan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Ka...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Sebuah Kulit Bola dalam Sistem Koordinat Kulit Bola

Sebuah kulit bola memiliki tempat kedudukan \[ S^2(\vec{r}_0, R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r} - \vec{r}_0| = R\} \] di mana $\vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$ adalah pusat kulit bola tersebut, dan $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jarinya. Tentu saja, \[ \vec{r} := r(\hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta) \] dan \[ \vec{r}_0 := r_0(\hat{x}\sin\theta_0\cos\phi_0 + \hat{y}\sin\theta_0\sin\phi_0 + \hat{z}\cos\theta_0) \] di mana $r, r_0 \in \mathbb{R}^+\cup\{0\}$, $\theta, \theta_0 \in [0, \pi]$, dan $\phi, \phi_0 \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, serta $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Tentu saja, \[ \vec{r} - \vec{r}_0 = \hat{x}(r\sin\theta\cos\phi - r_0\sin\theta_0\cos\phi_0) \] \[ + \hat{y}(r\sin\theta\sin\phi - r_0\sin\theta_0\sin\phi_0) + \hat{z}(r\cos\theta - r_0\cos\theta_0) \] sehingga \[ |\vec{r} - \vec{r}_0|^2 = r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r_0^2\sin^2\theta_0\cos^2\phi_0 - 2r_0r\sin\theta_...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Menurunkan Hukum Arus Kirchhoff dari Hukum Ampere

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah \[ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t. \] Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan \[ 0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t, \] di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan \[ 0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt}, \] di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...
Posting Komentar
Baca selengkapnya