Medan Listrik akibat Muatan Berbentuk Sebagian Busur Lingkaran

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan yang terdistribusi homogen dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$ berbentuk sebagian busur lingkaran, yaitu
$$C(R, \phi) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in (0, \phi)\}$$
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$.

Posisi titik pada $C(R, \phi)$ adalah
$$\vec{r}' := R(\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi')$$
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$.

Kita akan mencari medan listrik $\vec{E}$ di titik $\vec{r} := (0, 0, 0)$, yaitu
$$\vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi'$$
di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa.

Selanjutnya,
$$\vec{E} = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi'}{R^3}d\phi'.$$
$$\vec{E} = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\int_0^\phi (\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi')d\phi' = \hat{x}E_x + \hat{y}E_y + \hat{z}E_z.$$
Tentu saja, $E_z = 0$, sedangkan komponen yang lain adalah
$$E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\sin\phi$$
dan
$$E_y = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}(\cos\phi - 1).$$
Apabila $\phi = 0$ atau $\phi = 2\pi$, maka $E_x = E_y = 0$ sesuai dengan yang diharapkan.