Andaikan di ruang R3 ada muatan dengan distribusi berbentuk penggal garis terhingga dengan rapat muatan λ∈R, yaitu
L(a,b):={(0,0,z′) | a<z′<b}
di mana a,b∈R dan a<b.
Posisi titik pada L(a,b) adalah →r′:=z′ˆz di mana ˆz:=(0,0,1).
Posisi sebarang titik pada ruang R3 adalah
→r:=ˆxlcosϕ+ˆylsinϕ+ˆzz
di mana ˆx:=(1,0,0), ˆy:=(0,1,0), l∈R+, ϕ∈{0}∪(0,2π), dan z∈R.
Medan listrik yang terjadi di titik →r tentu saja adalah
→E=λ4πϵ0∫ba→r−→r′|→r−→r′|3dz′
di mana ϵ0 merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa.
Tentu saja,
→E=λ4πϵ0∫baˆxlcosϕ+ˆylsinϕ+ˆz(z−z′)[l2+(z−z′)2]3/2dz′=Exˆx+Eyˆy+Ezˆz.
Tentu saja,
Ex=λ4πϵ0(lcosϕ)∫badz′[l2+(z−z′)2]3/2.
Dengan substitusi z−z′=ltanα, maka diperoleh −dz′=lsec2αdα. Nilai αa dan αb didefinisikan sedemikian z−a=ltanαa dan z−b=ltanαb, sehingga
Ex=λ4πϵ0(lcosϕ)∫αbαa−lsec2αdαl3sec3α.
Ex=−λ4πϵ0l(cosϕ)∫αbαacosαdα.
Ex=λ4πϵ0l(cosϕ)(sinαa−sinαb).
Ex=λ4πϵ0l(z−a√l2+(z−a)2−z−b√l2+(z−b)2)cosϕ.
Dengan penalaran yang sama, diperoleh
Ey=λ4πϵ0l(z−a√l2+(z−a)2−z−b√l2+(z−b)2)sinϕ.
Komponen yang lain adalah
Ez=λ4πϵ0∫baz−z′[l2+(z−z′)2]3/2dz′.
Ez=λ4πϵ0∫αbαaltanαl3sec3α(−1)lsec2αdα.
Ez=−λ4πϵ0l∫αbαasinαdα.
Ez=λ4πϵ0l(cosαb−cosαa).
Ez=λ4πϵ0l(l√l2+(z−b)2−l√l2+(z−a)2).
Ez=λ4πϵ0(1√l2+(z−b)2−1√l2+(z−a)2).
Misalkan b=L→∞ dan a=−L→−∞, maka
Ez=λ4πϵ0limL→∞(1√l2+(z−L)2−1√l2+(z+L)2)=0.
El:=Exsecϕ=Eycscϕ=λ4πϵ0llimL→∞(z+L√l2+(z+L)2−z−L√l2+(z−L)2).
El=λ2πϵ0l
sesuai yang diharapkan.
L(a,b):={(0,0,z′) | a<z′<b}
di mana a,b∈R dan a<b.
Posisi titik pada L(a,b) adalah →r′:=z′ˆz di mana ˆz:=(0,0,1).
Posisi sebarang titik pada ruang R3 adalah
→r:=ˆxlcosϕ+ˆylsinϕ+ˆzz
di mana ˆx:=(1,0,0), ˆy:=(0,1,0), l∈R+, ϕ∈{0}∪(0,2π), dan z∈R.
Medan listrik yang terjadi di titik →r tentu saja adalah
→E=λ4πϵ0∫ba→r−→r′|→r−→r′|3dz′
di mana ϵ0 merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa.
Tentu saja,
→E=λ4πϵ0∫baˆxlcosϕ+ˆylsinϕ+ˆz(z−z′)[l2+(z−z′)2]3/2dz′=Exˆx+Eyˆy+Ezˆz.
Tentu saja,
Ex=λ4πϵ0(lcosϕ)∫badz′[l2+(z−z′)2]3/2.
Dengan substitusi z−z′=ltanα, maka diperoleh −dz′=lsec2αdα. Nilai αa dan αb didefinisikan sedemikian z−a=ltanαa dan z−b=ltanαb, sehingga
Ex=λ4πϵ0(lcosϕ)∫αbαa−lsec2αdαl3sec3α.
Ex=−λ4πϵ0l(cosϕ)∫αbαacosαdα.
Ex=λ4πϵ0l(cosϕ)(sinαa−sinαb).
Ex=λ4πϵ0l(z−a√l2+(z−a)2−z−b√l2+(z−b)2)cosϕ.
Dengan penalaran yang sama, diperoleh
Ey=λ4πϵ0l(z−a√l2+(z−a)2−z−b√l2+(z−b)2)sinϕ.
Komponen yang lain adalah
Ez=λ4πϵ0∫baz−z′[l2+(z−z′)2]3/2dz′.
Ez=λ4πϵ0∫αbαaltanαl3sec3α(−1)lsec2αdα.
Ez=−λ4πϵ0l∫αbαasinαdα.
Ez=λ4πϵ0l(cosαb−cosαa).
Ez=λ4πϵ0l(l√l2+(z−b)2−l√l2+(z−a)2).
Ez=λ4πϵ0(1√l2+(z−b)2−1√l2+(z−a)2).
Misalkan b=L→∞ dan a=−L→−∞, maka
Ez=λ4πϵ0limL→∞(1√l2+(z−L)2−1√l2+(z+L)2)=0.
El:=Exsecϕ=Eycscϕ=λ4πϵ0llimL→∞(z+L√l2+(z+L)2−z−L√l2+(z−L)2).
El=λ2πϵ0l
sesuai yang diharapkan.
Komentar
Posting Komentar