Langsung ke konten utama

Medan Listrik yang Ditimbulkan oleh Distribusi Muatan Berbentuk Penggal Garis Lurus Terhingga

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan dengan distribusi berbentuk penggal garis terhingga dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ L(a, b) := \{(0, 0, z') ~|~ a < z' < b\} \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a < b$.

Posisi titik pada $L(a, b)$ adalah $\vec{r}' := z'\hat{z}$ di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$.

Posisi sebarang titik pada ruang $\mathbb{R}^3$ adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$.

Medan listrik yang terjadi di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah
\[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}dz' \]
di mana $\epsilon_0$ merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa.

Tentu saja,
\[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{\hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}(z - z')}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}dz' = E_x\hat{x} + E_y\hat{y} + E_z\hat{z}. \]
Tentu saja,
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}(l\cos\phi)\int_a^b \frac{dz'}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}. \]
Dengan substitusi $z - z' = l\tan\alpha$, maka diperoleh $-dz' = l\sec^2\alpha\,d\alpha$.  Nilai $\alpha_a$ dan $\alpha_b$ didefinisikan sedemikian $z - a = l\tan\alpha_a$ dan $z - b = l\tan\alpha_b$, sehingga
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}(l\cos\phi)\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \frac{-l\sec^2\alpha\,d\alpha}{l^3\sec^3\alpha}. \]
\[ E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}(\cos\phi)\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \cos\alpha\,d\alpha. \]
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}(\cos\phi)(\sin\alpha_a - \sin\alpha_b). \]
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\left(\frac{z - a}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}} - \frac{z - b}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}}\right)\cos\phi. \]
Dengan penalaran yang sama, diperoleh
\[ E_y = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\left(\frac{z - a}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}} - \frac{z - b}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}}\right)\sin\phi. \]
Komponen yang lain adalah
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{z - z'}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}dz'. \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \frac{l\tan\alpha}{l^3\sec^3\alpha}(-1)l\sec^2\alpha\,d\alpha. \]
\[ E_z = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \sin\alpha\,d\alpha. \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}(\cos\alpha_b - \cos\alpha_a). \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\left(\frac{l}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}} - \frac{l}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}}\right). \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}}\right). \]

Misalkan $b = L \to \infty$ dan $a = -L \to -\infty$, maka
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\lim_{L\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{l^2 + (z - L)^2}} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + (z + L)^2}}\right) = 0. \]
\[ E_l := E_x\sec\phi = E_y\csc\phi = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\lim_{L\to\infty}\left(\frac{z + L}{\sqrt{l^2 + (z + L)^2}} - \frac{z - L}{\sqrt{l^2 + (z - L)^2}}\right). \]
\[ E_l = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0l} \]
sesuai yang diharapkan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Persamaan Hamilton

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai \[ p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}. \] Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$. Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu \[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}, \] maka \[ \dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}. \] Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$. Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$. Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka \[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi \[ \vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta. \] Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah \[ \vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta, \] sehingga \[ \vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta), \] di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$. Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan $\v
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Karena
Posting Komentar
Baca selengkapnya