Processing math: 100%
Langsung ke konten utama

Medan Listrik yang Ditimbulkan oleh Distribusi Muatan Berbentuk Penggal Garis Lurus Terhingga

Andaikan di ruang R3 ada muatan dengan distribusi berbentuk penggal garis terhingga dengan rapat muatan λR, yaitu
L(a,b):={(0,0,z) | a<z<b}
di mana a,bR dan a<b.

Posisi titik pada L(a,b) adalah r:=zˆz di mana ˆz:=(0,0,1).

Posisi sebarang titik pada ruang R3 adalah
r:=ˆxlcosϕ+ˆylsinϕ+ˆzz
di mana ˆx:=(1,0,0), ˆy:=(0,1,0), lR+, ϕ{0}(0,2π), dan zR.

Medan listrik yang terjadi di titik r tentu saja adalah
E=λ4πϵ0barr|rr|3dz
di mana ϵ0 merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa.

Tentu saja,
E=λ4πϵ0baˆxlcosϕ+ˆylsinϕ+ˆz(zz)[l2+(zz)2]3/2dz=Exˆx+Eyˆy+Ezˆz.
Tentu saja,
Ex=λ4πϵ0(lcosϕ)badz[l2+(zz)2]3/2.
Dengan substitusi zz=ltanα, maka diperoleh dz=lsec2αdα.  Nilai αa dan αb didefinisikan sedemikian za=ltanαa dan zb=ltanαb, sehingga
Ex=λ4πϵ0(lcosϕ)αbαalsec2αdαl3sec3α.
Ex=λ4πϵ0l(cosϕ)αbαacosαdα.
Ex=λ4πϵ0l(cosϕ)(sinαasinαb).
Ex=λ4πϵ0l(zal2+(za)2zbl2+(zb)2)cosϕ.
Dengan penalaran yang sama, diperoleh
Ey=λ4πϵ0l(zal2+(za)2zbl2+(zb)2)sinϕ.
Komponen yang lain adalah
Ez=λ4πϵ0bazz[l2+(zz)2]3/2dz.
Ez=λ4πϵ0αbαaltanαl3sec3α(1)lsec2αdα.
Ez=λ4πϵ0lαbαasinαdα.
Ez=λ4πϵ0l(cosαbcosαa).
Ez=λ4πϵ0l(ll2+(zb)2ll2+(za)2).
Ez=λ4πϵ0(1l2+(zb)21l2+(za)2).

Misalkan b=L dan a=L, maka
Ez=λ4πϵ0limL(1l2+(zL)21l2+(z+L)2)=0.
El:=Exsecϕ=Eycscϕ=λ4πϵ0llimL(z+Ll2+(z+L)2zLl2+(zL)2).
El=λ2πϵ0l
sesuai yang diharapkan.

Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang R3 ada vektor sudut rotasi θ:=θˆn yang berpangkal di titik 0, di mana θ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu t, serta ˆn merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap t.  Vektor posisi mula-mula r0 yang berotasi oleh θ tersebut pada waktu t akan berpindah ke posisi r=(ˆnr0)ˆn+(ˆn×r0)׈ncosθ+ˆn×r0sinθ. Turunan r terhadap t tentu saja adalah v:=drdt=(ˆn×r0)׈ndθdtsinθ+ˆn×r0dθdtcosθ, sehingga v=ω×(ˆn×r0sinθ+r0cosθ), di mana ω:=dθ/dt. Karena (ˆn×r0)׈n=r0(ˆnr0)ˆn dan...

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  f:=ri1,,in=1Mi1inxi1xin, sehingga fxi=ri1,,innk=1Mi1inxi1xik1δiikxik+1xin, fxi=nk=1ri1,,ik1,ik+1,,in=1Mi1ik1iik+1inxi1xik1xik+1xin, ri=1xifxi=nk=1ri,i1,,ik1,ik+1,,in=1Mi1ik1iik+1inxi1xik1xixik+1xin. Karena Mi1ik1iik+1inxi=rik=1δiikMi1ik1ikik+1inxik, maka ri=1xifxi=nk=1ri,i1,,in=1Mi1inxi1xinδiik. Ka...

Turunan Vektor Basis Satuan Azimutal terhadap Koordinat Azimutal

ˆϕ/ϕ=(/ϕ)(eϕ/|eϕ|). eϕ=r/ϕ. r=ˆxrsinθcosϕ+ˆyrsinθsinϕ+ˆzrcosθ. eϕ=ˆxrsinθsinϕ+ˆyrsinθcosϕ. |eϕ|=rsinθ. ˆϕ=eϕ/|eϕ|=ˆxsinϕ+ˆycosϕ. ˆϕ/ϕ=(ˆxcosϕ+ˆysinϕ). ˆr=ˆxsinθcosϕ+ˆysinθsinϕ+ˆzcosθ. ˆθ=eθ/|eθ|. eθ=r/θ=ˆxrcosθcosϕ+ˆyrcosθsinϕˆzrsinθ. |eθ|=r. ˆθ=ˆxcosθcosϕ+ˆycosθsinϕˆzsinθ. \[ \begin{pmatrix}\hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi}\end{pma...