Langsung ke konten utama

Medan Listrik yang Ditimbulkan oleh Distribusi Muatan Berbentuk Penggal Garis Lurus Terhingga

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan dengan distribusi berbentuk penggal garis terhingga dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu
\[ L(a, b) := \{(0, 0, z') ~|~ a < z' < b\} \]
di mana $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a < b$.

Posisi titik pada $L(a, b)$ adalah $\vec{r}' := z'\hat{z}$ di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$.

Posisi sebarang titik pada ruang $\mathbb{R}^3$ adalah
\[ \vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z \]
di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$.

Medan listrik yang terjadi di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah
\[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}dz' \]
di mana $\epsilon_0$ merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa.

Tentu saja,
\[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{\hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}(z - z')}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}dz' = E_x\hat{x} + E_y\hat{y} + E_z\hat{z}. \]
Tentu saja,
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}(l\cos\phi)\int_a^b \frac{dz'}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}. \]
Dengan substitusi $z - z' = l\tan\alpha$, maka diperoleh $-dz' = l\sec^2\alpha\,d\alpha$.  Nilai $\alpha_a$ dan $\alpha_b$ didefinisikan sedemikian $z - a = l\tan\alpha_a$ dan $z - b = l\tan\alpha_b$, sehingga
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}(l\cos\phi)\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \frac{-l\sec^2\alpha\,d\alpha}{l^3\sec^3\alpha}. \]
\[ E_x = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}(\cos\phi)\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \cos\alpha\,d\alpha. \]
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}(\cos\phi)(\sin\alpha_a - \sin\alpha_b). \]
\[ E_x = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\left(\frac{z - a}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}} - \frac{z - b}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}}\right)\cos\phi. \]
Dengan penalaran yang sama, diperoleh
\[ E_y = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\left(\frac{z - a}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}} - \frac{z - b}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}}\right)\sin\phi. \]
Komponen yang lain adalah
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{z - z'}{[l^2 + (z - z')^2]^{3/2}}dz'. \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \frac{l\tan\alpha}{l^3\sec^3\alpha}(-1)l\sec^2\alpha\,d\alpha. \]
\[ E_z = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\int_{\alpha_a}^{\alpha_b} \sin\alpha\,d\alpha. \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}(\cos\alpha_b - \cos\alpha_a). \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\left(\frac{l}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}} - \frac{l}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}}\right). \]
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{l^2 + (z - b)^2}} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + (z - a)^2}}\right). \]

Misalkan $b = L \to \infty$ dan $a = -L \to -\infty$, maka
\[ E_z = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\lim_{L\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{l^2 + (z - L)^2}} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + (z + L)^2}}\right) = 0. \]
\[ E_l := E_x\sec\phi = E_y\csc\phi = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0l}\lim_{L\to\infty}\left(\frac{z + L}{\sqrt{l^2 + (z + L)^2}} - \frac{z - L}{\sqrt{l^2 + (z - L)^2}}\right). \]
\[ E_l = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0l} \]
sesuai yang diharapkan.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Menurunkan Hukum Arus Kirchhoff dari Hukum Ampere

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah \[ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t. \] Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan \[ 0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t, \] di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan \[ 0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt}, \] di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) \[ \frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1. \] Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Ka...
Posting Komentar
Baca selengkapnya