Andaikan ada sebuah Lagrangian L↦(q,˙q,t), di mana q adalah satu-satunya koordinat umum, t adalah waktu, dan ˙q:=dq/dt, serta q↦t dan ˙q↦t. Andaikan ada sebuah momentum umum p yang didefinisikan sebagai
p:=(∂L∂˙q)q,t.
Tentu saja, p↦(q,˙q,t), sehingga tentu saja ˙q↦(q,p,t).
Karena L memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu
ddt(∂L∂˙q)q,t=(∂L∂q)˙q,t,
maka
˙p=(∂L∂q)˙q,t.
Tentu saja, ˙p↦(q,˙q,t).
Andaikan ada sebuah Hamiltonian H↦(q,p,t), yang didefinisikan sebagai H:=˙qp−L.
Karena L=Lq,˙q,t(q,˙qq,p,t(q,p,t),t), maka
(∂H∂q)p,t=(∂˙q∂q)p,tp−(∂L∂q)p,t.
Karena
(∂L∂q)p,t=(∂L∂q)˙q,t+(∂L∂˙q)q,t(∂˙q∂q)p,t,
maka
(∂H∂q)p,t=(∂˙q∂q)p,t(p−(∂L∂˙q)q,t)−(∂L∂q)˙q,t
sehingga
(∂H∂q)p,t=−˙p.
Demikian pula,
(∂H∂p)q,t=(∂˙q∂p)q,t+˙q−(∂L∂p)q,t.
Karena
(∂L∂p)q,t=(∂L∂˙q)q,t(∂˙q∂p)q,t,
maka
(∂H∂p)q,t=(∂˙q∂p)q,t(p−(∂L∂˙q)q,t)+˙q
sehingga
(∂H∂p)q,t=˙q.
p:=(∂L∂˙q)q,t.
Tentu saja, p↦(q,˙q,t), sehingga tentu saja ˙q↦(q,p,t).
Karena L memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu
ddt(∂L∂˙q)q,t=(∂L∂q)˙q,t,
maka
˙p=(∂L∂q)˙q,t.
Tentu saja, ˙p↦(q,˙q,t).
Andaikan ada sebuah Hamiltonian H↦(q,p,t), yang didefinisikan sebagai H:=˙qp−L.
Karena L=Lq,˙q,t(q,˙qq,p,t(q,p,t),t), maka
(∂H∂q)p,t=(∂˙q∂q)p,tp−(∂L∂q)p,t.
Karena
(∂L∂q)p,t=(∂L∂q)˙q,t+(∂L∂˙q)q,t(∂˙q∂q)p,t,
maka
(∂H∂q)p,t=(∂˙q∂q)p,t(p−(∂L∂˙q)q,t)−(∂L∂q)˙q,t
sehingga
(∂H∂q)p,t=−˙p.
Demikian pula,
(∂H∂p)q,t=(∂˙q∂p)q,t+˙q−(∂L∂p)q,t.
Karena
(∂L∂p)q,t=(∂L∂˙q)q,t(∂˙q∂p)q,t,
maka
(∂H∂p)q,t=(∂˙q∂p)q,t(p−(∂L∂˙q)q,t)+˙q
sehingga
(∂H∂p)q,t=˙q.
Komentar
Posting Komentar