Langsung ke konten utama

Persamaan Hamilton

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai
\[ p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}. \]
Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$.

Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}, \]
maka
\[ \dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}. \]
Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$.

Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$.

Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}\right)_{p,t}p - \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{p,t}. \]
Karena
\[ \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{p,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t} + \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}\right)_{p,t}, \]
maka
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}\right)_{p,t}\left(p - \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\right) - \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t} \]
sehingga
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = -\dot{p}. \]
Demikian pula,
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial p}\right)_{q,t} + \dot{q} - \left(\frac{\partial L}{\partial p}\right)_{q,t}. \]
Karena
\[ \left(\frac{\partial L}{\partial p}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial p}\right)_{q,t}, \]
maka
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial p}\right)_{q,t}\left(p - \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\right) + \dot{q} \]
sehingga
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t} = \dot{q}. \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi \[ \vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta. \] Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah \[ \vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta, \] sehingga \[ \vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta), \] di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$. Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan $\v
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Karena
Posting Komentar
Baca selengkapnya