Langsung ke konten utama

Persamaan Hamilton

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai
\[ p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}. \]
Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$.

Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}, \]
maka
\[ \dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}. \]
Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$.

Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$.

Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}\right)_{p,t}p - \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{p,t}. \]
Karena
\[ \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{p,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t} + \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}\right)_{p,t}, \]
maka
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}\right)_{p,t}\left(p - \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\right) - \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t} \]
sehingga
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = -\dot{p}. \]
Demikian pula,
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial p}\right)_{q,t} + \dot{q} - \left(\frac{\partial L}{\partial p}\right)_{q,t}. \]
Karena
\[ \left(\frac{\partial L}{\partial p}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial p}\right)_{q,t}, \]
maka
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial p}\right)_{q,t}\left(p - \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}\right) + \dot{q} \]
sehingga
\[ \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t} = \dot{q}. \]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}, \] \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}. \] Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka \[ \sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}. \] Ka...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Sebuah Kulit Bola dalam Sistem Koordinat Kulit Bola

Sebuah kulit bola memiliki tempat kedudukan \[ S^2(\vec{r}_0, R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r} - \vec{r}_0| = R\} \] di mana $\vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$ adalah pusat kulit bola tersebut, dan $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jarinya. Tentu saja, \[ \vec{r} := r(\hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta) \] dan \[ \vec{r}_0 := r_0(\hat{x}\sin\theta_0\cos\phi_0 + \hat{y}\sin\theta_0\sin\phi_0 + \hat{z}\cos\theta_0) \] di mana $r, r_0 \in \mathbb{R}^+\cup\{0\}$, $\theta, \theta_0 \in [0, \pi]$, dan $\phi, \phi_0 \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, serta $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Tentu saja, \[ \vec{r} - \vec{r}_0 = \hat{x}(r\sin\theta\cos\phi - r_0\sin\theta_0\cos\phi_0) \] \[ + \hat{y}(r\sin\theta\sin\phi - r_0\sin\theta_0\sin\phi_0) + \hat{z}(r\cos\theta - r_0\cos\theta_0) \] sehingga \[ |\vec{r} - \vec{r}_0|^2 = r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r_0^2\sin^2\theta_0\cos^2\phi_0 - 2r_0r\sin\theta_...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Menurunkan Hukum Arus Kirchhoff dari Hukum Ampere

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah \[ \nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t. \] Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan \[ 0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t, \] di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan \[ 0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt}, \] di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...
Posting Komentar
Baca selengkapnya