Processing math: 100%
Langsung ke konten utama

Persamaan Hamilton

Andaikan ada sebuah Lagrangian L(q,˙q,t), di mana q adalah satu-satunya koordinat umum, t adalah waktu, dan ˙q:=dq/dt, serta qt dan ˙qt.  Andaikan ada sebuah momentum umum p yang didefinisikan sebagai
p:=(L˙q)q,t.
Tentu saja, p(q,˙q,t), sehingga tentu saja ˙q(q,p,t).

Karena L memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu
ddt(L˙q)q,t=(Lq)˙q,t,
maka
˙p=(Lq)˙q,t.
Tentu saja, ˙p(q,˙q,t).

Andaikan ada sebuah Hamiltonian H(q,p,t), yang didefinisikan sebagai H:=˙qpL.

Karena L=Lq,˙q,t(q,˙qq,p,t(q,p,t),t), maka
(Hq)p,t=(˙qq)p,tp(Lq)p,t.
Karena
(Lq)p,t=(Lq)˙q,t+(L˙q)q,t(˙qq)p,t,
maka
(Hq)p,t=(˙qq)p,t(p(L˙q)q,t)(Lq)˙q,t
sehingga
(Hq)p,t=˙p.
Demikian pula,
(Hp)q,t=(˙qp)q,t+˙q(Lp)q,t.
Karena
(Lp)q,t=(L˙q)q,t(˙qp)q,t,
maka
(Hp)q,t=(˙qp)q,t(p(L˙q)q,t)+˙q
sehingga
(Hp)q,t=˙q.

Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Waktu Vektor Posisi yang Berotasi

Misalkan di ruang R3 ada vektor sudut rotasi θ:=θˆn yang berpangkal di titik 0, di mana θ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu t, serta ˆn merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap t.  Vektor posisi mula-mula r0 yang berotasi oleh θ tersebut pada waktu t akan berpindah ke posisi r=(ˆnr0)ˆn+(ˆn×r0)׈ncosθ+ˆn×r0sinθ. Turunan r terhadap t tentu saja adalah v:=drdt=(ˆn×r0)׈ndθdtsinθ+ˆn×r0dθdtcosθ, sehingga v=ω×(ˆn×r0sinθ+r0cosθ), di mana ω:=dθ/dt. Karena (ˆn×r0)׈n=r0(ˆnr0)ˆn dan...

Fungsi Homogen Berderajat Sebarang

Diketahui ada kuantitas  f:=ri1,,in=1Mi1inxi1xin, sehingga fxi=ri1,,innk=1Mi1inxi1xik1δiikxik+1xin, fxi=nk=1ri1,,ik1,ik+1,,in=1Mi1ik1iik+1inxi1xik1xik+1xin, ri=1xifxi=nk=1ri,i1,,ik1,ik+1,,in=1Mi1ik1iik+1inxi1xik1xixik+1xin. Karena Mi1ik1iik+1inxi=rik=1δiikMi1ik1ikik+1inxik, maka ri=1xifxi=nk=1ri,i1,,in=1Mi1inxi1xinδiik. Ka...

Turunan Vektor Basis Satuan Azimutal terhadap Koordinat Azimutal

ˆϕ/ϕ=(/ϕ)(eϕ/|eϕ|). eϕ=r/ϕ. r=ˆxrsinθcosϕ+ˆyrsinθsinϕ+ˆzrcosθ. eϕ=ˆxrsinθsinϕ+ˆyrsinθcosϕ. |eϕ|=rsinθ. ˆϕ=eϕ/|eϕ|=ˆxsinϕ+ˆycosϕ. ˆϕ/ϕ=(ˆxcosϕ+ˆysinϕ). ˆr=ˆxsinθcosϕ+ˆysinθsinϕ+ˆzcosθ. ˆθ=eθ/|eθ|. eθ=r/θ=ˆxrcosθcosϕ+ˆyrcosθsinϕˆzrsinθ. |eθ|=r. ˆθ=ˆxcosθcosϕ+ˆycosθsinϕˆzsinθ. \[ \begin{pmatrix}\hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi}\end{pma...