Pertambahan Majemuk Kontinyu

Misalkan jumlah sesuatu pada saat $t$ adalah $M(t)$ dan pada saat $t_0$ adalah $M_0:=M(t_0)$. Apabila pertambahan pada saat $t$ adalah $I(t)$ dan laju pertambahannya adalah $J(t):=dI(t)/dt$, maka jumlah sesuatu pada saat $t_0+n\Delta{t}$ adalah
$$M(t_0+n\Delta{t})=M_0\prod_{j=0}^n{[1+J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]},$$
dengan $\Delta{t}$ adalah selang waktu pertambahan.

Apabila dianggap $n=(t-t_0)/\Delta{t}$, maka
$$M(t)=M_0\prod_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}{[1+J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]},$$
$$M(t)=M_0\prod_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}\left\{[1+J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]^{1/[J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]}\right\}^{J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}}.$$
Untuk $\Delta{t}\approx{0}$, diperoleh
$$M(t)\approx{M_0}\prod_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}\exp[J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]={M_0}\exp\sum_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}$$
sehingga
$$M(t) \approx {M_0}\exp\int_{t_0}^t{J(t)}\,dt.$$