Proyeksi Stereografis Permukaan Bola ke Bidang Datar

Andaikan ada sebuah permukaan bola
$$S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\}$$
dan ada sebuah bidang datar
$$P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\}$$
di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$.

Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$.

Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah
$$L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}.$$
Oleh karena itu,
$$\vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0)$$
di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga
$$(X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) - (0, 0, -R)).$$
Untuk mencari $k$, di ambillah komponen
$$c = -R + kR(\cos\theta + 1)$$
alias
$$c/R = -1 + 2k\cos^2(\theta/2)$$
alias
$$k = (1/2)(1 + c/R)\sec^2(\theta/2).$$
Kedua komponen lainnya adalah
$$X = kR\sin\theta\cos\phi = (R + c)\tan(\theta/2)\cos\phi$$
dan
$$Y = kR\sin\theta\sin\phi = (R + c)\tan(\theta/2)\sin\phi.$$
Dengan demikian pemetaan $(\theta, \phi) \mapsto (X, Y)$ merupakan proyeksi stereografis.