Rapat Peluang Keberadaan Partikel Klasik

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya)
$$\frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}.$$
Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah
$$P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1.$$
Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah
$$P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(0)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin 0) = \frac{1}{2}.$$
Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A/2$ tentu saja adalah
$$P_x(A/2) - P_x(0) = \int_0^{A/2} \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A/2) - t_x(0)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin(1/2) - \arcsin 0) = \frac{1}{6}.$$
Peluang untuk menemukan partikel pada interval $A/2 < x < A$ tentu saja adalah
$$P_x(A) - P_x(A/2) = \int_{A/2}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(A/2)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(1/2)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{3}.$$
Demikianlah ini sesuai yang diharapkan bahwa $1/2 + 1/6 + 1/3 = 1$.