ERROR-ANTISOS

Sebuah kulit bola memiliki tempat kedudukan $$S^2(\vec{r}_0, R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r} - \vec{r}_0| = R\}$$ di mana $\vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$ adalah pusat kulit bola tersebut, dan $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jarinya. Tentu saja, $$\vec{r} := r(\hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta)$$ dan $$\vec{r}_0 := r_0(\hat{x}\sin\theta_0\cos\phi_0 + \hat{y}\sin\theta_0\sin\phi_0 + \hat{z}\cos\theta_0)$$ di mana $r, r_0 \in \mathbb{R}^+\cup\{0\}$, $\theta, \theta_0 \in [0, \pi]$, dan $\phi, \phi_0 \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, serta $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Tentu saja, $$\vec{r} - \vec{r}_0 = \hat{x}(r\sin\theta\cos\phi - r_0\sin\theta_0\cos\phi_0)$$ $$+ \hat{y}(r\sin\theta\sin\phi - r_0\sin\theta_0\sin\phi_0) + \hat{z}(r\cos\theta - r_0\cos\theta_0)$$ sehingga \[ |\vec{r} - \vec{r}_0|^2 = r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r_0^2\sin^2\theta_0\cos^2\phi_0 - 2r_0r\sin\theta_...

$$\partial\hat{\phi}/\partial\phi = (\partial/\partial\phi)(\vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi|).$$ $$\vec{e}_\phi = \partial\vec{r}/\partial\phi.$$ $$\vec{r} = \hat{x}r\sin\theta\cos\phi + \hat{y}r\sin\theta\sin\phi + \hat{z}r\cos\theta.$$ $$\vec{e}_\phi = -\hat{x}r\sin\theta\sin\phi + \hat{y}r\sin\theta\cos\phi.$$ $$|\vec{e}_\phi| = r\sin\theta.$$ $$\hat{\phi} = \vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi| = -\hat{x}\sin\phi + \hat{y}\cos\phi.$$ $$\partial\hat{\phi}/\partial\phi = -(\hat{x}\cos\phi + \hat{y}\sin\phi).$$ $$\hat{r} = \hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta.$$ $$\hat{\theta} =  \vec{e}_\theta/|\vec{e}_\theta|.$$ $$\vec{e}_\theta = \partial\vec{r}/\partial\theta = \hat{x}r\cos\theta\cos\phi + \hat{y}r\cos\theta\sin\phi - \hat{z}r\sin\theta.$$ $$|\vec{e}_\theta| = r.$$ $$\hat{\theta} = \hat{x}\cos\theta\cos\phi + \hat{y}\cos\theta\sin\phi - \hat{z}\sin\theta.$$ \[ \begin{pmatrix}\hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi}\end{pma...

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah $$\nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t.$$ Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan $$0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t,$$ di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan $$0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt},$$ di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi $$\vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta.$$ Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah $$\vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta,$$ sehingga $$\vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta),$$ di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$. Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan...

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga $$\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n},$$ $$\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n},$$ $$\sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}.$$ Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka $$\sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}.$$ Ka...

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai $$p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}.$$ Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$. Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t},$$ maka $$\dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}.$$ Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$. Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$. Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka \[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\par...