ERROR-ANTISOS

Andaikan $f, g\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dan $c, \delta, \epsilon \in \mathbb{R}$.  Definisi limit adalah $$\lim_{x\to c}f(x) = L$$ sedemikian rupa sehingga untuk setiap $\epsilon >0$, terdapat $\delta > 0$, sedemikian berlaku jika $$0 < |x - c| < \delta$$ mengakibatkan $$|f(x) - L| < \epsilon.$$ Dari definisi ini, kita hendak mencari bentuk eksplisit dari nilai $L$. Kita dapat menuliskan $$|x - c| = |r|$$ di mana $0 < |r| < \delta$ alias $r \in (-\delta, 0)\cup(0, \delta)$, sehingga $$x = c + r.$$ Kita dapat menuliskan pula $$|f(x) - L| = |R|$$ di mana $0 \leq |R| < \epsilon$ alias $R \in (-\epsilon, \epsilon)$, sehingga $$L = f(x) + R = f(c + r) + R.$$ Contoh kongkretnya adalah $$\lim_{x\to 0}x = (0 + r) + R.$$ Kita ambil $R = -r$, sehingga $$\lim_{x\to 0}x = r + (-r) = 0.$$ Selain itu, $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{0 + r}{0 + r} + R.$$ Kita ambil $R = 0$, sehingga \[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \frac{r}{...

Sebuah kulit bola memiliki tempat kedudukan $$S^2(\vec{r}_0, R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r} - \vec{r}_0| = R\}$$ di mana $\vec{r}_0 \in \mathbb{R}^3$ adalah pusat kulit bola tersebut, dan $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jarinya. Tentu saja, $$\vec{r} := r(\hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta)$$ dan $$\vec{r}_0 := r_0(\hat{x}\sin\theta_0\cos\phi_0 + \hat{y}\sin\theta_0\sin\phi_0 + \hat{z}\cos\theta_0)$$ di mana $r, r_0 \in \mathbb{R}^+\cup\{0\}$, $\theta, \theta_0 \in [0, \pi]$, dan $\phi, \phi_0 \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, serta $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, dan $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Tentu saja, $$\vec{r} - \vec{r}_0 = \hat{x}(r\sin\theta\cos\phi - r_0\sin\theta_0\cos\phi_0)$$ $$+ \hat{y}(r\sin\theta\sin\phi - r_0\sin\theta_0\sin\phi_0) + \hat{z}(r\cos\theta - r_0\cos\theta_0)$$ sehingga \[ |\vec{r} - \vec{r}_0|^2 = r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r_0^2\sin^2\theta_0\cos^2\phi_0 - 2r_0r\sin\theta_...

$$\partial\hat{\phi}/\partial\phi = (\partial/\partial\phi)(\vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi|).$$ $$\vec{e}_\phi = \partial\vec{r}/\partial\phi.$$ $$\vec{r} = \hat{x}r\sin\theta\cos\phi + \hat{y}r\sin\theta\sin\phi + \hat{z}r\cos\theta.$$ $$\vec{e}_\phi = -\hat{x}r\sin\theta\sin\phi + \hat{y}r\sin\theta\cos\phi.$$ $$|\vec{e}_\phi| = r\sin\theta.$$ $$\hat{\phi} = \vec{e}_\phi/|\vec{e}_\phi| = -\hat{x}\sin\phi + \hat{y}\cos\phi.$$ $$\partial\hat{\phi}/\partial\phi = -(\hat{x}\cos\phi + \hat{y}\sin\phi).$$ $$\hat{r} = \hat{x}\sin\theta\cos\phi + \hat{y}\sin\theta\sin\phi + \hat{z}\cos\theta.$$ $$\hat{\theta} =  \vec{e}_\theta/|\vec{e}_\theta|.$$ $$\vec{e}_\theta = \partial\vec{r}/\partial\theta = \hat{x}r\cos\theta\cos\phi + \hat{y}r\cos\theta\sin\phi - \hat{z}r\sin\theta.$$ $$|\vec{e}_\theta| = r.$$ $$\hat{\theta} = \hat{x}\cos\theta\cos\phi + \hat{y}\cos\theta\sin\phi - \hat{z}\sin\theta.$$ \[ \begin{pmatrix}\hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi}\end{pma...

Hukum arus Kirchhoff dapat diperoleh dari persamaan kontinyuitas yang diperoleh dari hukum Ampere. Hukum Ampere adalah $$\nabla\times\vec{H} = \vec{J} + \partial\vec{D}/\partial t.$$ Pengambilan divergensi pada kedua ruas persamaan terakhir menghasilkan $$0 = \nabla\cdot\vec{J} + \partial\rho/\partial t,$$ di mana $\nabla\cdot\vec{D} = \rho$ merupakan hukum Gauss. Persamaan terakhir ini merupakan persamaan kontinyuitas untuk elektromagnetisme. Pengintegralan kedua ruas persamaan kontinyuitas tersebut ke seluruh volume $V$, dengan menerapkan teorema divergensi Gauss, menghasilkan $$0 = \oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} + \frac{dq}{dt},$$ di mana $q = \int_V \rho d^3\vec{r}$ adalah muatan listrik pada $V$. Untuk volume $V$ yang mendekati titik matematis yang berupa simpul, maka $\oint_{\partial V}\vec{J}\cdot d^2\vec{r} = 0$.  Sementara itu $I := dq/dt = \sum_{j=1}^n I_j$ adalah total arus listrik yang melewati titik simpul tersebut, sehingga \[ \sum_{j=1...

Misalkan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada vektor sudut rotasi $\vec{\theta} := \theta\hat{n}$ yang berpangkal di titik $\vec{0}$, di mana $\theta$ merupakan sudut rotasi yang bergantung pada waktu $t$, serta $\hat{n}$ merupakan vektor satuan arah orientasi rotasi yang konstan terhadap $t$.  Vektor posisi mula-mula $\vec{r}_0$ yang berotasi oleh $\vec{\theta}$ tersebut pada waktu $t$ akan berpindah ke posisi $$\vec{r} = (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n} + (\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\cos\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta.$$ Turunan $\vec{r}$ terhadap $t$ tentu saja adalah $$\vec{v} := \frac{d\vec{r}}{dt} = -(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n}\frac{d\theta}{dt}\sin\theta + \hat{n}\times\vec{r}_0\frac{d\theta}{dt}\cos\theta,$$ sehingga $$\vec{v} = \vec{\omega}\times(\hat{n}\times\vec{r}_0\sin\theta + \vec{r}_0\cos\theta),$$ di mana $\vec{\omega} := d\vec{\theta}/dt$. Karena $(\hat{n}\times\vec{r}_0)\times\hat{n} = \vec{r}_0 - (\hat{n}\cdot\vec{r}_0)\hat{n}$ dan...

Diketahui ada kuantitas  $f:=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}x_{i_1}\cdots{x}_{i_n}$, sehingga $$\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{i_1,\dots,i_n}^r\sum_{k=1}^n{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}\delta_{ii_k}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n},$$ $$\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n},$$ $$\sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_{k-1},i_{k+1},\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_{k-1}}x_i{x}_{i_{k+1}}\cdots{x}_{i_n}.$$ Karena ${M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}ii_{k+1}\cdots{i}_n}x_i=\sum_{i_k=1}^r\delta_{ii_k}{M}_{i_1\cdots{i}_{k-1}i_ki_{k+1}\cdots{i}_n}x_{i_k}$, maka $$\sum_{i=1}^r{x_i}\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}=\sum_{k=1}^n\sum_{i,i_1,\dots,i_n=1}^r{M}_{i_1\cdots{i}_n}{x}_{i_1}\cdots{x}_{i_n}\delta_{ii_k}.$$ Ka...

Andaikan ada sebuah Lagrangian $L \mapsto (q, \dot{q}, t)$, di mana $q$ adalah satu-satunya koordinat umum, $t$ adalah waktu, dan $\dot{q} := dq/dt$, serta $q \mapsto t$ dan $\dot{q} \mapsto t$.  Andaikan ada sebuah momentum umum $p$ yang didefinisikan sebagai $$p := \left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t}.$$ Tentu saja, $p \mapsto (q, \dot{q}, t)$, sehingga tentu saja $\dot{q} \mapsto (q, p, t)$. Karena $L$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange, yaitu $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)_{q,t} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t},$$ maka $$\dot{p} = \left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot{q},t}.$$ Tentu saja, $\dot{p} \mapsto (q, \dot{q}, t)$. Andaikan ada sebuah Hamiltonian $H \mapsto (q, p, t)$, yang didefinisikan sebagai $H := \dot{q}p - L$. Karena $L = L_{q, \dot{q}, t}(q, \dot{q}_{q,p,t}(q, p, t), t)$, maka \[ \left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p, t} = \left(\frac{\partial\dot{q}}{\par...

Misalkan jumlah sesuatu pada saat $t$ adalah $M(t)$ dan pada saat $t_0$ adalah $M_0:=M(t_0)$. Apabila pertambahan pada saat $t$ adalah $I(t)$ dan laju pertambahannya adalah $J(t):=dI(t)/dt$, maka jumlah sesuatu pada saat $t_0+n\Delta{t}$ adalah $$M(t_0+n\Delta{t})=M_0\prod_{j=0}^n{[1+J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]},$$ dengan $\Delta{t}$ adalah selang waktu pertambahan. Apabila dianggap $n=(t-t_0)/\Delta{t}$, maka $$M(t)=M_0\prod_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}{[1+J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]},$$ $$M(t)=M_0\prod_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}\left\{[1+J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]^{1/[J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]}\right\}^{J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}}.$$ Untuk $\Delta{t}\approx{0}$, diperoleh $$M(t)\approx{M_0}\prod_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}\exp[J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}]={M_0}\exp\sum_{j=0}^{(t-t_0)/\Delta{t}}J(t_0+j\Delta{t})\Delta{t}$$ sehingga $$M(t) \approx {M_0}\exp\int_{t_0}^t{J(t)}\,dt.$$

Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan titik $(b_x,b_y,b_z)$ adalah $$d_{00}=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2+(a_z-b_z)^2}.$$ Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ adalah $$d_{01}=\sqrt{\frac{[(a_y-y_0)v_z-(a_z-z_0)v_y]^2+[(a_z-z_0)v_x-(a_x-x_0)v_z]^2+[(a_x-x_0)v_y-(a_y-y_0)v_x]^2}{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}}.$$ Jarak antara titik $(a_x,a_y,a_z)$ dan bidang $N_xx+N_yy+N_zz+C=0$ adalah $$d_{02}=\frac{|a_xN_x+a_yN_y+a_zN_z+C|}{\sqrt{{N_x}^2+{N_y}^2+{N_z}^2}}.$$ Jarak antara garis $\displaystyle \frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$ dan garis $\displaystyle \frac{x-x_1}{w_x}=\frac{y-y_1}{w_y}=\frac{z-z_1}{w_z}$ adalah $$d_{11}=\frac{|(x_0-x_1)(v_yw_z-v_zw_y)+(y_0-y_1)(v_zw_x-v_xw_z)+(z_0-z_1)(v_xw_y-v_yw_x)|}{\sqrt{(v_yw_z-v_zw_y)^2+(v_zw_x-v_xw_z)^2+(v_xw_y-v_yw_x)^2}}$$ apabila $v_yw_z\neq{v_zw_y}$ atau $v_zw_x\neq{v_xw_z}$ atau $v_xw_y\neq{v_yw_x}$. Apabila $v_yw_z=v_zw_y$ dan $v_...

Andaikan ada sebuah permukaan bola $$S^2(R) := \{\vec{r} \in \mathbb{R}^3 ~|~ |\vec{r}| = R\}$$ dan ada sebuah bidang datar $$P(c) := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = c\}$$ di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $c \in \mathbb{R}$. Oleh karena itu, salah satu titik pada $S^2(R)$ adalah $\vec{r} := R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$ di mana $\theta \in [0, \pi]$ dan $\phi \in (0, 2\pi)\cup\{0\}$. Proyeksi stereografis dari $S^2(R)$ ke $P(c)$ oleh titik $\vec{r}_0 := (0, 0, -R)$ merupakan titik potong pada $P(c)$ oleh garis yang menghubungkan $\vec{r}_0$ dan $\vec{r}$ dengan titik potong di $(X, Y, c)$ di mana $X, Y \in \mathbb{R}$.  Garis tersebut adalah $$L(\vec{r}_0, \vec{r}) := \{\vec{s} \in \mathbb{R}^3 ~|~ (\vec{s} - \vec{r}_0)\times(\vec{r} - \vec{r}_0) = \vec{0}\}.$$ Oleh karena itu, $$\vec{s} := (x, y, z) = \vec{r}_0 + k(\vec{r} - \vec{r}_0)$$ di mana $k \in \mathbb{R}$, sehingga \[ (X, Y, c) = (0, 0, -R) + k(R(\sin\theta\cos\phi, \sin\th...

Andaikan ada sebuah partikel klasik yang bergerak bolak-balik sepanjang garis riil $\mathbb{R}$ dengan posisi $x = A\sin(2\pi t/T)$, di mana $A, T \in \mathbb{R}^+$ berturut-turut adalah amplitudo dan periode getaran, dan $t \in \mathbb{R}$ adalah waktu.  Tentu saja, $t = (T/2\pi)\arcsin(x/A)$.  Rapat peluang keberadaan partikel klasik tersebut tentu saja adalah (di mana $P$ adalah peluangnya) $$\frac{dP}{dx} = \frac{2}{T}\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\pi}\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{A} = \frac{1}{\pi A}\frac{1}{\sqrt{1 - (x/A)^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{A^2 - x^2}}.$$ Peluang untuk menemukan partikel pada interval $-A < x < A$ tentu saja adalah $$P_x(A) - P_x(-A) = \int_{-A}^A \frac{dP}{dx}dx = \frac{2}{T}(t_x(A) - t_x(-A)) = \frac{1}{\pi}(\arcsin 1 - \arcsin(-1)) = \frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 1.$$ Peluang untuk menemukan partikel pada interval $0 < x < A$ tentu saja adalah \[ P_x(A) - P_x(0) = \int_0^A \frac{dP}{dx}dx =...

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan dengan distribusi berbentuk penggal garis terhingga dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu $$L(a, b) := \{(0, 0, z') ~|~ a < z' < b\}$$ di mana $a, b \in \mathbb{R}$ dan $a < b$. Posisi titik pada $L(a, b)$ adalah $\vec{r}' := z'\hat{z}$ di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$. Posisi sebarang titik pada ruang $\mathbb{R}^3$ adalah $$\vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z$$ di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$, $\hat{y} := (0, 1, 0)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$. Medan listrik yang terjadi di titik $\vec{r}$ tentu saja adalah $$\vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}dz'$$ di mana $\epsilon_0$ merupakan permitivitas listrik dalam ruang hampa. Tentu saja, \[ \vec{E} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\int_a^b \frac{\hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}(z - z...

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan berdistribusi sebuah lingkaran dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$, yaitu $$S^1(R) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)\}$$ di mana $R \in \mathbb{R}^+$ adalah jari-jari lingkaran tersebut. Posisi titik pada $S^1(R)$ tentu saja adalah $$\vec{r}' := \hat{x}R\cos\phi' + \hat{y}R\sin\phi'$$ di mana $\phi' \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, $\hat{x} := (1, 0, 0)$, dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$. Posisi sebarang titik di ruang $\mathbb{R}^3$ tentu saja adalah $$\vec{r} := \hat{x}l\cos\phi + \hat{y}l\sin\phi + \hat{z}z$$ di mana $\hat{z} := (0, 0, 1)$, $l \in \mathbb{R}^+$, $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$, dan $z \in \mathbb{R}$. Tentu saja, $$\vec{r} - \vec{r}' = \hat{x}(l\cos\phi - R\cos\phi') + \hat{y}(l\sin\phi - R\sin\phi') + \hat{z}z$$ sehingga $$|\vec{r} - \vec{r}'|^2 = l^2 + R^2 - 2lR\cos(\phi - \phi') + z^2.$$ Medan listrik di titik $\vec{r}$ ten...

Andaikan di ruang $\mathbb{R}^3$ ada muatan yang terdistribusi homogen dengan rapat muatan $\lambda \in \mathbb{R}$ berbentuk sebagian busur lingkaran, yaitu $$C(R, \phi) := \{R(\cos\phi', \sin\phi', 0) ~|~ \phi' \in (0, \phi)\}$$ di mana $R \in \mathbb{R}^+$ dan $\phi \in \{0\}\cup(0, 2\pi)$. Posisi titik pada $C(R, \phi)$ adalah $$\vec{r}' := R(\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi')$$ di mana $\hat{x} := (1, 0, 0)$ dan $\hat{y} := (0, 1, 0)$. Kita akan mencari medan listrik $\vec{E}$ di titik $\vec{r} := (0, 0, 0)$, yaitu $$\vec{E} = \frac{\lambda R}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\vec{r} - \vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3}d\phi'$$ di mana $\epsilon_0$ adalah permitivitas listrik di ruang hampa. Selanjutnya, $$\vec{E} = -\frac{\lambda R^2}{4\pi\epsilon_0}\int_0^\phi \frac{\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\phi'}{R^3}d\phi'.$$ \[ \vec{E} = -\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\int_0^\phi (\hat{x}\cos\phi' + \hat{y}\sin\p...